Einführung:

Erster Einblick in die „Geometrie der Töne“
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Date: Fri, 24 Oct 1997 10:59:46 +0200

Erster Einblick in die „Geometrie der Töne“

laut Vorwort ist ein breiter, interessierter Leserkreis angesprochen deshalb Sorgfalt und Zurückhaltung in der Entwicklung des mathematischen Formalismus (die Diskussion wird zeigen, ob diese Vorgaben eingehalten werden konnten)

Bild über den Status quo dieser Theorie (1990) an diesem hat sich bis heute wenig geändert Resultat einer zehnjährigen Forschungsperiode

Verwebung von systematischer Musikwissenschaft mit den Methoden und Erkenntnissen der modernen Mathematik im Anhang werden die Hintergrundstrukturen aus der Mathematik zur Entlastung von Sekundärliteratur geboten

Struktur des Buches

es gliedert sich in die Bereiche Voraussetzungen und die zentralen Teile

Voraussetzungen: die „Topographie“ als zentraler Grundbegriff und die Parameterräume als Grundlage

zentrale Teile: die lokale und globale Theorie

Topographie

dieses Kapitel dient einer Ortsbestimmung in mehrfacher Hinsicht:

einer Ortsbestimmung der Musik generell: „Das gedankliche Gerüst dieser Topographie bildet die Tatsache, dass Musik Mitteilung ist, Bedeutung hat und physisch zwischen ihren psychischen und geistigen Ebenen vermittelt.“ MaMuTh befasst sich mit den Möglichkeiten, diese Ebenen und ihre gegenseitigen Beziehungen formal zu beschreiben hierin auch eine Ortsbestimmung der MaMuTh

ferner wird in diesem Kapitel die Musik als Zeichensystem exponiert (Verweis auf „Semiotics in Music“), wobei die Topographie der Musik nach den drei Dimensionen Realitätsebenen, Kommunikation und Zeichen ausgerichtet dargestellt wird

der Begriff der Topographie erweist sich als ein zentraler, wie auch die Neufassung des Buches mit dem Titel „Topos of Music“ zeigt

Parameterräume

hier werden die Grundlagen für die weitere Beschäftigen mit der Musik exponiert: „Je nach topologischer Situation ist eine sprzifische Parametriesierung gefordert.“

d.h. die Klänge werden in einem musikalischen Parameterraum situiert

„Das Beste was gelingen kann, ist die Beschreibung einer umfassenden, oder doch repräsentativen Gesamtheit von Parameterräumen, die miteinander in eine präzise Beziehung gesetzt sind.“ diese Räume sind nach den Realitätsebenen zu unterscheiden, in denen die Klänge betrachtet werden

in der GdT wird zwischen physikalischen, mathematischen und interpretativen Räumen unterschieden

Physikalische Räume:

physikalische Erscheinungsform des Klanges; Stichpunkte: Wellenpaket mit Zahlenwerten für Einsatzzeit, Dauer und Amplitude; weitere Begriffe: Hüllkurve, Periode, Frequenz, Intensität, Amplituden- und Phasenspektrum das musikalische „Rohmaterial“

Mathematische Räume:

die physikalische Beschreibung von Klängen ist nicht für mathematische Betrachtungen geeignet

physikalische Parameterräume müssen in Räume transformiert werden, die im wesentlichen dieselbe Information über Klänge beinhalten, sie aber auf die Musik bezogen kodifizieren in der GdT werden mathematische Strukturen vorgestellt, in die sich die physikalischen Parameterräume transferieren lassen

wesentliche Begriffe sind hier: Takt und Metrum, Agogik und der Eulerraum, in dem Töne mit ihren Oktav-, Quint- und Terzkoordinaten kodiert werden

Interpretative Räume:

mathematische Räume sind in einer klaren Beziehung zu den pysikalischen „Rohdaten“, sind aber nicht tauglich für musiktheoretische Betrachtungen notwendiger Transformationsschritt führt zum interpretativen Raum

im interpretativen Raum werden die Klänge in einer Weise kodifiziert, die das Verstehen von musikalischen Strukturen mathematisch ausdrückt es ergibt sich eine Auswahl von Parameterräumen, die mit dem Stand des Musikdenkens zusammenhängen (provisorische Auswahl, keine vollständige Liste)

Begriffe: lokale Metren, zyklische Metren, Oktavidentifikation, Stimmungen

Übersicht über die Parameterräume:

physikalische Räume: physikalische Erscheinungsform
„Rohdaten“ der Klänge

mathematische Räume: Informationen, die auf die Musik bezogen kodifiziert werden
mathematische Strukturen

interpretative Räume: Verstehen von musikalischen Strukturen wird mathematisch ausgedrückt

Verbindend kann vielleicht so formuliert werden, dass zwischen den physikalischen und mthematischen Räumen eine „Mathematisierung“ und zwischen den mathematischen und interpretativen Räumen eine „Musikalisierung“ stattfindet.

Lokale und globale Theorie
Lokale Theorie:

die exakte Bestimmung der Klangmerkmale, die diskutiert werden, verlangen einen angemessenen formalen Rahmen
„Klangstrukturen werden immer unter der Auswahl von Gruppen von Merkmalen innerhalb von geeigneten Räumen physikalischer, mathematischer oder interpretativer Natur untersucht oder geschaffen.“

jeder Aspekt, unter dem etwas betrachtet wird, definiert einen Raum und die Mathematik, die darin anzuwenden ist
erforderlich hierfür ist eine strukturelle Basis, die Räume werden mit der Struktur eines Moduls versehen

stellen wir uns die Töne als „Punkte in Räumen“ vor, so kann mit Hilfe einer Struktur die Beziehung unter den Punkten formal erfasst werden

Einführung des Begriffs der lokalen Komposition
lokale Kompositionen sind: Skalen, Akkorde, Rythmen, Motive, d.h. elementare Objekt der Musik, „starre Gestalten“

der Vergleich solcher Objekte führt auf den Begriff der Symmetrie, Symmetrie als mathematische Transformation
„Wir werden also lokale Kompositionen durch mathematische Transformationen vergleichen, die musikalische Bedeutung vermitteln und erzeugen können“
Transformationen sind: Transposition, Wiederholung, Rhythmus, Umkehr, Krebs etc. nicht weiter eingehen auf Morphismen zwischen lokalen Kompositionen, Symmetriegruppen und die Klassifikation lokaler Kompositionen

Globale Theorie:

bislang die Beschäftigung mit elementaren Strukturen
mit der globalen Theorie wird die Mannigfaltigkeit, die Vieldeutigkeit musikalischer Strukturen behaldelt

„Musik ist nicht das eindeutig unbestimme, sondern das im Vieldeutigen Bestimmte“ (Adorno)

globale Theorie versucht eine exakte und operable Theorie des Vieldeutigen zu formulieren
musikalische Strukturen werden als zusammengesetzte und interpretierte Gebilde gesehen

zum Begriff der Mannigfaltigkeit wird ein Beispiel aus der Geographie herangezogen: „ein Atlas einer Landschaft, welcher aus einer Sammlung von Karten besteht, die teils überlappend, teil voneinander getrennt die Landschaft als zusammengefügtes Ganzes beschreiben.“
„Die mathematische Theorie der Mannigfaltigkeit geht aus von einer exakten Beschreibung dessen, was eine Karte sein soll und wie zwei Karten sich auf einem Überlappungsgebiet verhalten sollen.“

Die Landschaft in der Musik ist die Menge von Klängen, die ein Werk definieren. Man kann dies durchaus als eine grosse lokale Komposition sehen. Die Karten, die auf diese Landschaft gelegt werden sind dann lokale Teilkompositionen, die von besonderem Interesse sind. Je nach Interessenlage werden einige der möglichen Karten ausgewählt. Diese Karten, die zusammen einen Atlas bilden, müssen so viele sein, dass der Atlas effektiv alle vorkommenden Klänge überdeckt.

„Die Auswahl von Karten, die die `musikalische Landschaft‘ des Werkes überdecken, ist es, welche die Formulierung der interpretierenden Tätigkeit darstellt.“ Aus der Gesamtheit aller möglichen Karten werden die interessanten ausgewählt; die Auswahl hängt davon ab, was man vom Werk verstehen will.

Anspruch einer Mathematischen Musiktheorie
Ziele

Was kann die Mathematik für die Musiktheorie leisten?

Hauptargumente:
– Mathematik kann die Grundlage für eine Theoriesprache der Musik abgeben.
– Eine mathematische Theoriesprache der Musik ermöglicht / erzwingt exakte Definitionen
– musiktheoretischer Begriffe
– Bereitstellung von Bezeichnungssystemen
– Anregung zu neuen Begriffsbildungen und Untersuchungen

 

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1. Topographie der Musik

Subject: Zsf. 5/11/97 OS
From:
Date: Thu, 06 Nov 1997 09:50:17 +0100

Zusammenfassung der ersten Sitzung, 5.11.97, Osnabrück

Geometrie der Töne, Kap.1: Topographie der Musik

(Kap. 1.1.):

Trennung zwischen mathematischen und philosophischen Zugängen zur Musikwissenschaft: Die MaMuTh konzentriert sich auf formale Aspekte.

(Kap. 1.2.):

Musik hat drei Realitätsebenen:
1. sie ist Mitteilung: Kommunikationsebene
2. sie hat Bedeutung: Zeichenebene, Semiotik
3. sie vermittelt zwischen Realitätsebenen.

(Kap. 1.3.):

zu 1)
3 Perspektiven:
a) Schöpfer („Poietik“) – b) Werk („neutrales Niveau“) – c) Hörer („Aesthesis“)

zu b)
Problem der Definition: Was ist ein Werk? Im Gegensatz zur Bildenden Kunst ist ein Musikwerk vielschichtiger und liegt in vielfacher Form vor. Entscheidend für die MaMuTh ist eine neutrale, formale Betrachtung vor jeder Bewertung, wobei die eingenommeme Perspektive keine Ausschließlichkeit beanspruchen kann.

zu a)
Betrachtung aus der Perspektive des Schöpfers, Betrachtung der Machart eines Werkes. Mazzola weist auf die Tatsache hin, daß bereits die Definition eines Tones stark von Poietik beeinflußt ist. Dies versucht er am Beispiel der Tonhöhe klarzumachen: Die Tonhöhe als Logarithmus der Frequenz sei keine Invariante des Klanges. Die These, daß die Frequenz einer periodischen Schwingung aus der Klangstruktur nicht eindeutig ableitbar ist, konnte vom Teilnehmerkreis nicht klar nachvollzogen werden. Auch aus dem Beispiel (Anhang A4.1.1., S. 316) konnte keine restlose Klärung gewonnen werden, da von den Sitzungsteilnehmern eine wesentlich größere Zeitdauer einer Hüllkurve als einer Periode einer akustischen Schwingung angenommen wurde.

zu c)
Auch aus diesem Abschnitt geht die Bemühung Mazzolas klar hervor, möglichst neutrale Perspektiven zu gewinnen. Folglich begreift er den Wahrnehmungsvorgang als hauptsächlich in der Zeitperspektive vom Vorgang der Poietik verschieden. Das Beispiel für die Verwechslungsgefahr zwischen poietischer und aesthetischer Perspektive, nämlich die Tonhöhe, wirft ähnliche Fragen auf wie im vorangegangenen Abschnitt. Die Defininition der Tonhöhe als ausschließlich der poietischen Perspektive zugehörig bedarf noch einer Klärung.

(Kap. 1.4.):

Es wurden die Begriffe geklärt:
Synchronie – Diachronie
Signifikant – Signifikation – Signifikat
Shifter arbiträr – motiviert

Zu folgendem kurz zitierten Protokollabschnitt und den damit verbundenen Fragen, gingen von G. Mazzola folgende Bemerkungen ein:

Mazzola weist auf die Tatsache hin, daß bereits die Definition eines Tones stark von Poietik beeinflußt ist. Dies versucht er am Beispiel der Tonhöhe klarzumachen:
Die Tonhöhe als Logarithmus der Frequenz sei keine Invariante des Klanges. Die These, daß die Frequenz einer periodischen Schwingung aus der Klangstruktur nicht eindeutig ableitbar ist, konnte vom Teilnehmerkreis nicht klar nachvollzogen werden.
Auch aus dem Beispiel (Anhang A4.1.1., S. 316) konnte keine restlose Klärung gewonnen werden, da von den Sitzungsteilnehmern eine wesentlich größere Zeitdauer einer Hüllkurve als einer Periode einer akustischen Schwingung angenommen wurde.

Das Beispiel auf Seite 316:

Natürlich ist der zweite Index eine 2, nicht eine 1. Das Beispiel G = H1.F1 = H2.F2 beweist, dass eine endlich ausgedehnte Schwingung G nicht notwendig auf ihre periodischen Anteile schliessen lässt, denn F1 und F2 sind verschieden. Das ist wohl klar.
Also muss man sich fragen, unter welchen Umständen sich eine periodische Schwingung F in einer endlichen Schwingungen G = H.F (H = Hüllkurve) überhaupt eindeutig ausrechnen lässt. Und wenn nicht, was von F eindeutig ermittelbar ist.
Also: die Annahme, dass die Frequenz f von F sehr viel grösser als die Dauer D(H) der Hüllkurve H ist, beweist gerade, dass man hier eine Annahme treffen muss, die ein zusätzliches Wissen über F voraussetzt, nämlich, dass f viel grösser als die D(H) ist.

Woher weiss man das?
Man hat von F nur den Ausschnitt, der durch H sichtbar ist! F selber hat man nicht, klar? Wenn man aber aus F einen kleinen Ausschnitt auschneidet, kann sich F ausserhalb von H beliebig verhalten, und man weiss es nicht! Da kann im „sichtbaren Ausschnitt“ F zwar scheinbar (!) eine hohe Frequenz f „haben“, aber das kann ein Partialtoneffekt sein! Nimmt man z.B. F(t) = wie im unteren Bild die Zackenfunktion!

Dann ist die „wahre“ Periode/Frequenz durch die grossen Zacken A definiert, die in einer Hüllkurve aber erscheinenden kleinen Zacken B scheinen eine kleine Periode (hohe Frequenz) zu zeigen, was „falsch“ ist. Man muss also die Annahme schon treffen, dass f sehr viel grösser ist als D(H).

Aber das geht dann wirklich *auch dann* noch schief. Und zwar aus vollkommen trivialen Gründen! Nimmt man mal an, dass man eine reine Sinusfunktion F(t) = sin(2*Pi*1000*t) hat. Da würde jeder sagen, dass die Frequenz f = 1000 Hz ist. Aber was ist die Frequenz f einer periodischen Schwingung? Periodisch heisst, dass F nach einer gewissen Zeit immer wieder gleich aussieht, dh. es gibt eine Periode q so dass F(t) = F(t+q) für alle Zeiten t. Gut.

Aber ist diese Periode eindeutig?
Wenn sich F alle q Sekunden wieder holt, dann natürlich auch alle 2*q Sekunden. Mit q ist auch 2*q, und 3*q etc. Periode. Also ist mit der Frequenz f auch f/2, f/3 etc. Frequenz. Dann hat also sin(2*Pi*1000*t) auch die Frequenz 1000/2 = 500, usf. Die Frequenz ist nicht eindeutig bestimmt, sie ist sogar unendlich vieldeutig. Objektiv gesehen. Fourierzerlegung basiert auf der Annahme, dass man schon eine Periode vorgibt!!! Dann ist alles klar, vorher nicht.

Man kann sich noch so zu retten versuchen: Man nehem die kleinstmögliche Periode. Dann fällt natürlich die obige Konstruktion ins Wasser. Aber das ist wohlverstanden nicht eine objektive Eigenschaft der Schwingung, sondern eine Zusatzinformation, die die Schwingung nicht hat. Fourier ohne diese Zusatzinformation ist nicht eindeutig.
Wenn also jemand mit der Freuqenz 500 ein F sin(2*Pi*2*500*t) herstellt, dann kriegt er Probleme mit dem Analysator, der auf Frequenz 1000 tippt, wenn er die Minimalitätsbedingung anwendet.
Damit wird halt alles relativ, wie ich eben geschrieben habe. Das Herstellungsverfahren macht eine periodische Funktion mit Frequenz 500 und nur dem 2. Oberton. Aber davon weiss der Empfänger nicht notwendig was. Und geht prompt auf Frequenz 1000. Es ist also genauso wie ich sage.

 

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Subject: Re: Sitzung vom 12. 11. 1997
From:
Date: Fri, 14 Nov 1997 11:52:01 +0100

Antworten von G. Mazzola zu den Fragen aus der MaMuTh-Sitzung am 12.11.1997

Bei der Besprechung des Themas „Mathematische Raeume“ sind folgende Fragen aufgetaucht:

2.3.1.2 Agogik

Welche Definition hat die Variable „alpha“ in Bild 6?

1. Das Alpha ist einfach die Temposteigung, also ein Mass für das Accel. bei einer linearen Tempogestalt.
Â

2.3.3 Frequenz

Welchen Nutzen hat die Umwandlung vom natuerlichen Logarithmus zum Logarithmus zur Basis b?

2. Der Übergang hat einfach eine normative Wirkung, das ist ganz praktisch. Manchmal will man gewisse Grössen (also Logarithmen log(2), log(3), etc.) günstig als Zahlenwerte darstellen. Z.B.: kann es sein, dass man b=2 wählt, und dann ist die Oktave im Logarithmus grad =1.
Â

2.3.3.1

Warum verschwindet die Terzkoordinate bei der Pythagoreischen Stimmung?

3. Weil die pythagorieische Stimmung eben per definitionem nur die Oktave und die Quinte benutzt. Ganz banal und historisch und wahr. Die Terz wird mit Hilfe von Oktav und Quint zusammengesetzt.

 

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2.4 Interpretative Räume

Subject: Interpretative Räume (Zsf. 17.12.97)
From:
Date: Tue, 13 Jan 1998 12:16:10 +0100

Interpretative Räume (Zsf. 17.12.97)

2.4 Interpretative Räume

Von den mathematischen Räumen gelangt man durch einen weiteren Transformationsschritt zu den „interpretativen Räumen“. Diese sind so angelegt, „dass deren Parameter die Klänge in einer Weise kodifizieren, die das Verstehen von musikalischen Strukturen mathematisch ausdrückt.“

Die Auswahl der Parameterräume hängt mit dem Stand des Musikdenkens zusammen. Mazzola legt Wert darauf, dass physikalische, mathematische und interpretative Räum klar unterschieden werden.

2.4.1 Einsatzzeit und Dauer

zwei Verfahren zur Ableitung der (musikalischen) Zeitparameter aus den mathematischen:

2.4.1.1 Lokale Variation des Metrums
Da man sich in der Regel lokal (d.h. in einem bestimmten Zeitintervall) nur für eine begrenzte Menge von Einsatzzeiten und Dauern interessiert (z.B. Achtel), ersetzt man den unendlich teilbaren Raum Z [1/2, 1/3, 1/5, 1/7] durch das Intervall [n, n+k] in Z. Dabei können auch mehrere solcher lokaler Metren über dasselbe Stück einer Komposition gelegt werden, beispielsweise, wenn in verschiedenen Stimmen gleichzeitig Achtel und Achteltriolen vorkommen.

2.4.1.2 Zyklische Metren
Zur Untersuchung periodischer Muster von Einsatzzeiten betrachtet man die Klassen [x] aller Punkte y, die sich von x um ein Vielfaches der Periode m unterscheiden:
y – x = t * m, t in Z
Wenn x ganz Z durchläuft, erhält man die Menge Zm all dieser Klassen:
Zm = {[0], [1], …, [m-1]}

2.4.2 Schalldruckpegel

Der Schalldruckpegel L(A) = a * ln(A) + b, bietet als reelle Zahl eine für die Musik viel zu feine Unterteilung und wird daher vermittels der linearen Lautstärke- oder Pegel-Funktion durch ein Intervall [a, b] von ganzen Zahlen ersetzt.
Mazzola wählt das Intervall [-3, +3] und ordnet es den Dynamikbezeichnungen von ppp bis fff zu.
Im Seminar stellten sich die Fragen,
a) ob diese Einteilung fein genug ist
b) ob es sinnvoll ist, einem Schalldruckpegel eine bestimmte Dynamikbezeichnung zuzuordnen, ohne das Instrument zu berücksichtigen
(ist ein ff auf der Gitarre genauso laut wie ein ff vom spätromantischen Sinfonieorchester?!)

2.4.3 Tonhöhe: Oktavidentifikation

Tonhöhen, die sich untereinander durch ganzzahlige Vielfache des Oktavpunktes unterscheiden, werden zu Klassen, den Tonigkeiten, zusammengefasst. Wenn x in Q3 ein Eulerpunkt ist, gehören zur Tonigkeit
[x] von x alle y in Q3 mit
x – y = z * 0, z in Z.
Die Menge der Tonigkeiten wird mit Q3 / Z * 0 bezeichnet.

2.4.3.1 Teilmenge der Tonigkeiten zur reinen Stimmung
Die reine Stimmung ist im Eulerraum Q3 das Gitter Z3. Zwei Eulerpunkte x und y gehören genau dann zur gleichen Tonigkeit [x] = [y], wenn die Quint- und Terzkoordinaten übereinstimmen. Daher entspricht die Menge der Tonigkeiten dem „Eulernetz“ Z2.

2.4.3.2 Teilmenge der Tonigkeiten zur w-temperierten Stimmung
Da die w-temperierte Stimmung aus den Vektoren/Punkten x/w * 0 (x ganz) besteht, ist mit jedem Punkt auch dessen Tonigkeit in dieser Stimmung enthalten. Die Menge der Tonigkeiten (Z * 1/w * 0)/Z * 0 der w-temperierten Stimmung ist aus w verschiedenen Tonigkeiten aufgebaut. Dieser zyklische Raum ist dem für zyklische Metren mathematisch äquivalent.

2.4.3.3 Tonigkeiten zu w2-w3-w5-temperiert-reinen Stimmungen (z.B. mitteltönig)
Der Raum temperiert-reiner Tonigkeiten ist aus zyklischen Anteilen und Netzanteilen zusammengesetzt. Man kann den Raum als Vereinigung eines Zyklus von Netzen Ns oder als Netz von Zyklen Ta,b interpretieren.

 

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4.1 Die Objekte der lokalen Theorie

Subject: Zusammenfassung vom 7.1.98
From:
Date: Fri, 23 Jan 1998 16:11:44 +0100

Zusammenfassung der Sitzung vom 7.1.98

Hier ging es hauptsaechlich um die Darstellung der algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Modul. Auf die Wiederholung der Beispiele soll an dieser Stelle verzichtet werden.

4.1. Die Objekte der lokalen Theorie

4.1.1 Moduln

In den vorangegangenen Kapiteln hat sich gezeigt, dass man je nach betrachteten musikalischen oder physikalischen Parametern unterschiedliche Raeume und darauf definierte Operationen erhaelt. So besteht der Raum der Tondauern Z[1/2, 1/3, 1/5, 1/7] aus speziellen rationalen Zahlen, waehrend die Elemente des Euler-Raums Q^3 rationale Tripel (p,s,r) sind. Die unterschiedliche Beschaffenheit der Elemente bedeutet aber, dass auf diesen Mengen nicht dieselben Operatoren definiert werden koennen: Die Multiplikation von rationalen Zahlen kann nicht ohne weiteres auf Tripel uebertragen sondern sie muss geeignet definiert werden (ist (a,b,c)*(d,e,f) gleich (ad,be,cf) oder (af,be,cd) oder (abc,def, 0),…?).

Trotz der unterschiedlichen Beschaffenheit der Raeume gibt es eine strukturelle Basis, die jedem dieser Raeume zugrunde liegt. Eigenschaften, die nur aufgrund die nur aus den Axiomen dieser Struktur hergeleitet werden, gelten deshalb sofort fuer jedes konkrete Modell, egal wie es beschaffen ist. Dieses Kapitel beschaeftigt sich deshalb mit den Definitionen der algebraischen Strukturen abelsche Gruppe, Ring und Modul, wobei es das Ziel ist, den Modulbegriff einzufuehren, der die erwaehnte strukturelle Basis bildet.

Die Definition eines Moduls greift auf die beiden elementareren algebraischen Strukturen abelsche Gruppe und Ring zurueck, deren Axiomensysteme zuerst aufgefuehrt werden sollen.

Eine Menge P und eine darauf definierte Verknuepfung + (kurz: (P,+)) bilden eine abelsche (oder kommutative) Gruppe, wenn folgende Axiome erfuellt sind:

G1. x und y sind Elemente aus P => x+y ist auch Element von P
G2. (x+y)+z = x+(y+z) (Assoziativitaet)
G3. es gibt ein „neutrales Element“ e aus P, mit der Eigenschaft x+e = x fuer jedes x aus P
G4. zu jedem x aus P gibt es ein x‘ aus P so dass x+x‘ = e ist
G5. x+y = y+x (Kommutativitaet)
Dies sind im wesentlichen die Axiome MOD1.1 – MOD1.3 von Seite 65, wobei dort G1 nicht explizit aufgefuehrt ist und das Inversenaxiom G4 fehlt. Wichtig ist, dass hier das Pluszeichen + nur ein Platzhalter fuer eine beliebige Verknuepfung ist.

Beispiele fuer abelsche Gruppen sind die „normale Addition“ von ganzen Zahlen, also (Z,+), und die „normale Multiplikation“ von Bruechen (Q,*). (Z,-) und (Z,*) sind dagegen keine (abelschen) Gruppen, da (Z,-) die Axiome G2 und G5, (Z,*) Axiom G4 nicht erfuellt.

Eine Menge P mit zwei darauf definierten Verknuepfungen + und * (kurz: (P,+,*)) ist ein Ring, wenn diese Axiome gelten:

R1. (P,+) ist eine abelsche Gruppe
R2. (P,*) erfuellt die Axiome G1, G2 und G3 (jetzt natuerlich mit * anstelle von +)
R3. x*(y+z) = (x*y)+(x*z), (y+z)*x = (y*x)+(z*x) (Distributivitaet)
Beispiele fuer einfache Ringe sind die ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation (Z,+,*) sowie die Restklassenringe (Z_m,+,*), die bei Mazzola als Raum der zyklischen Metren auftauchen (S.33 f).

Mit den beiden einfachen Strukturen Gruppe und Ring koennen nun die Eigenschaften eines Moduls charakterisiert werden: Man bezeichnet P als ein R-Modul, wenn gilt (vgl. MOD2, S.67):

M1. (P,+) ist eine abelsche Gruppe
M2. (R,+,*) ist ein Ring
M3. es gibt eine „Skalarmultiplikation“ # mit den Eigenschaften (r,s aus R und x,y aus P):
M3.1 (r+s)#x = (r#x)+(s#x)
M3.2 r#(x+y) = (r#x)+(r#y)
M3.3 es gibt ein neutrales Element e aus R mit e#x = x
M3.4 R enthaelt eine „Null“ o mit o#x=0 (0 ist das neutrale Element von (P,+))
M3.5 r#(s#x) = (r*s)#x

Die beiden Multiplikationsoperatoren # und * werden normalerweise nicht schreibtechnisch unterschieden, d.h. beide werden wie bei Mazzola (MOD2) als Punkt notiert.

Zu bemerken ist noch, dass es sich im Gegensatz zu MOD2.1 – MOD2.4 bei MOD2.5 – MOD2.9 nicht um Axiome, sondern um Saetze handelt, die aus MOD2.1 – MOD2.4 hergeleitet wurden (Beweise siehe S.306).

Schwierig wird es nun beim betrachten konkreter Modul-Modelle, etwa dem Tonhoehenmodul. Man kann zwar unterschiedlichste (musikalischen) Raeume konstruieren, denen eine Modul- struktur zugrunde liegt, die Frage nach der musikalischen Interpretation stellt sich aber offensichtlich als nicht ganz trivial heraus (Was z.B. bedeutet das Addieren zweier Punkte des Eulerraums?). Andererseits kann eine Formalisierung auch Erklaerungen fuer zunaechst wenig einsichtige Zusammenhaenge liefern. So zeigt Mazzola, dass die additive Struktur des Tonhoehenmoduls die Grundlage fuer das Denken in Tonhoehenabstaenden ist.

 

Subject: Musiktheoretische Motivation von Addition und Multiplikation
From:
Date: Sat, 24 Jan 1998 10:53:57 +0100

Musiktheoretische Motivation von Addition und Multiplikation

Folgende Bemerkung von Martin Gieseking will ich gern aufgreifen:
Schwierig wird es nun beim betrachten konkreter Modul-Modelle, etwa dem Tonhoehenmodul. Man kann zwar unterschiedlichste (musikalischen) Raeume konstruieren, denen eine Modulstruktur zugrunde liegt, die Frage nach der musikalischen Interpretation stellt sich aber offensichtlich als nicht ganz trivial heraus (Was z.B. bedeutet das Addieren zweier Punkte des Eulerraums?).

Wenn man die Addition im Eulerrraum E definiert, hat man es genaugenommen mit einer Abbildung +: E x E -> E zu tun. Mathematiker müssen sich nicht näher über die Natur der 3 Exemplare von E festlegen. Wohlaber müssen wir das in der Musiktheorie tun. Es mag irreführend sein, nach der Bedeutung der „Summe zweier Töne“ zu suchen. Natürlicher ist es die beiden Exemplare von E auf der linken Seite musiktheoretisch zu unterscheiden:
+: E0 x E1 -> E0
Ein Exemplar E0 fungiert als Tonraum (im engeren Sinne) und ein zweites Exemplar E1 fungiert als Raum von Translations-Operatoren.
Die Addition ist dann eine Gruppenwirkung der Translationen-Gruppe auf dem Tonraum E0. Das „Transponieren“ als musiktheoretische Bedeutung dieser Gruppenwirkung ist uns aber wohlvertraut.
Ähnlich kann man mit der skalaren Multiplikation oder der Wirkung affiner Modulmorphismen umgehen, nur liegt hier die musiktheoretische Bedeutung nicht sofort auf der Hand, sondern muß von uns erarbeitet werden.

 

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4.1.2. Lokale Kompositionen

Subject: Lokale Kompositionen (13.1.98)
From:
Date: Wed, 14 Jan 1998 17:13:37 +0100

Zusammenfassung der Sitzung vom 13. 1. 1998

4.1.2 Lokale Kompositionen

Vorbemerkungen:

Die Töne sind (nach Schönberg „Harmonielehre“) das Material der Musik; dessen Merkmale sind die einzelnen Aspekte (Tonhöhe, Tonigkeit, Oktav-, Quint-, Terzkoordinate, Dauer etc.), die in Moduln als Punkte mit Beziehungen zueinander dargestellt werden.

Moduln:
sind mathematische Raster, über denen das Material der Musik vermessen wird

Ein einzelner Klang (auch in einem Modul vermessen) macht noch keine Musik aus, ein System von Tönen, von Klängen, braucht einen gemeinsamen Kontext, um die gegenseitige Beziehungen zu bestimmen. Hierbei wird auf die „Gestaltkriterien“ zurückgegriffen.

Gestaltkriterien:
„musikalische Gestalten“ werden definiert, damit keine Relation zwischen ihren Teilen unbestimmt bleibt
Die einzelnen Teile können starr oder elastisch miteinander verbunden sein.

Beispiel auf S. 74 ist der Dreiklang:
Aspekt: 12-temperierte Stimmung im Eulermodul
Tonhöhen: ganzzahlige Werte z aus Z, die im Eulermodul z/12 * o entsprechen
im Modul Z wird wie im Modul Z * 1/12 * o gerechnet, die beiden Module sind isomorph

(Isomorphie: „von gleicher Gestalt“ – die Elemente und Operationen zweier Mengen müssen einander entsprechen)
Beispiel: { 0, +1}, + (Menge der Zahlen 0 und +1, Operation der Addition)
{+1, -1}, * (Menge der Zahlen -1 und +1, Operation der Multiplikation)
zwischen beiden Mengen gibt es eine eindeutige Abbildung der beiden Mengen bezüglich ihrer Operationen

Die Menge Z der ganzen Zahlen und die Restmenge Z2[0,1] sind dagegen nicht isomorph
hier liegt nur ein Morphismus vor Z -> Z2)

Die Relationen der Töne aus denen der Dreiklang aufgebaut ist, führt zu vier lokalen Kompositionen; er ist – was seine Struktur angeht – nicht vollständig bestimmt; es ist eine elementare musikalische Gestalt.

Als Begriff für eine elementare musikalische Gestalt wird die *** lokale Komposition *** eingeführt.

lokale Komposition: eine endliche, nicht leere Teilmenge K eines R-Moduls P

P ist der Modul der lokalen Komposition, der Trägermodul von K

Zum Zustandekommem einer lokalen Komposition gehören:
Aspekt (Tonhöhe, Tonigkeit, Einsatzzeit etc.)
Modulstruktur (z.B. Z * 1/w * o)
Relationen der Punkte im Trägermodul

4.1.3 Lokale musikalische Materialkunde

4.1.3.1 Skala

Betrifft den Aspekt der Tonhöhe

Ausgangspunkt ist der Eulermodul Q^3 (Q^3 = Q * o + Q * q + Q * t)
Skala im Eulermodul: unendliche lokale Komposition T (alle vorkommenden Töne, auch die nicht mehr hörbaren), die eine Vereinigung endlich vieler Tonigkeiten ist.

-> Das ist hier qua Definition festgelegt, wie auch die Oktavperiodizität.

Die Menge S der Tonigkeiten aus denen T besteht, sind dann für die Betrachtung relevant; es sind lokale Kompositionen im Z-Modul Q^3/Z*o (Q hoch 3 modulo Z mal o); hiermit ist die Oktavidentifikation definiert.

Q^3 / Z * o = (Q * o / Z * o) + (Q * q + Q * t)
              1. Trägermodul    2. Trägermodul

 

4.1.3.1.1 Die Skalen des ersten Trägermodules (Q * o / Z * o)

Skalen in w-temperierter Stimmung
Entspricht Bild 33 a), alle Töne liegen auf der Oktavkoordinate
Trägermodul ist Zw = (Z * 1/w * o)/Z * o
wird die Perlenkette auf der Oktavkoordinate zum Kreis gerundet, werden bei den verschiedenen Skalen in Bild 31 erste Symmetrien sichtbar.

4.1.3.1.2 Die Skalen des zweiten Trägermodules (Q * q / Q * t)

Skalen in reiner Stimmung
als Ausgangspunkt entspricht dies Bild 33 b) – ein Oktavbereich der reinstimmigen Chromatik

Ton    Koordinaten (o,q,t)   Verhältnisse
c         0,  0,  0              1/1
des       4, -1, -1             16/15
d        -3,  2,  0              9/8
es        1,  1, -1              6/5
e        -2,  0,  1              5/4
f         2, -1,  0              4/3
fis      -5,  2,  1             45/32
g        -1,  1,  0              3/2
as        3,  0, -1              8/5
a         0, -1,  1              5/3
b         4, -2,  0             16/9
h        -3,  1,  1             15/8

 

In Bild 32 ist Oktavbereich ausschliesslich auf die Quint und Terzkoordinaten projiziert, d.h. die Oktavkoordinate findet keine Berücksichtigung.

           Tk.
          a  e  h  fis
    b  f  c  g  d        Qk.
      des as es

 

Bei der Symmetrie der Darstellung des natürlichen c-moll und C-dur ergaben sich Fragen bezüglich der Position der Note b:

            Tk.                         Tk.
         a  e  h                  (b) f  c  g  d        Qk.
         f  c  g  d    Qk.            as es b

 

Anstelle des (b) mit dem Verhältnis 16/9 wurd hier das b mit dem Verhältnis 9/5 gewählt. Die Wahll des b (9/5) ergäbe bei der Darstellung der Chromatik eine quasi „recheckige“ Anordnung der Töne.

-> Die Frage nach den unterschiedlichen b’s wird an den Autoren weitergegeben.

4.1.3.2 Akkord

Akkord: lokale Komposition A im Eulermodul
Akkordeinsatz: spezielle lokale Komposition Ae im Modul Q^3 + Q (Q sind die mathematischen Einsatzzeiten), falls alle Punkte von Ae dieselbe Einsatzzeit haben.

analog zu den Skalen gibt es w-temperierte und reingestimmte Akkorde, die Trägermodule der Tonigkeiten sind dieselben

Das Zitat „Es gibt unendlich viele reingestimmte Akkorde, hingegen 2^w – 1 w-temperierte Akkorde und (w über n) – 1 w-temperierte n-Chorde“ wird an den Autoren weitergegeben, da in der Formel für die w-temperierten n-Chorde das -1 als Fehler angesehen wurde.

4.1.3.3 Rhythmus

Voraussetzungen für den Rhythmus als lokale Komposition ist ein lokales Metrum und eine Periode p.
Hinzu kommt der Aspekt „Einsatzzeit im lokalen Metrum“ ? * 1/z, sowie weitere Merkmale.

Trägermodul ist der Z-Modul P = Z + A
Z beinhaltet die Werte z des lokalen Metrums, A beinhaltet die Werte der anderen Merkmale

Bedeutsam ist hier der Unterschied zwischen Metrum und Rhythmus:
Metrum: lokales Metrum ist ein mathematischer Raster im Raum der musikalischen Zeit, es ist keine lokale Komposition
Rhythmus: über dem Metrum werden die verschiedensten Rhythmen konstruiert

Die Frage der Zusammenhänge zwischen Einsatzzeit und den anderen Aspekten (Tonigkeiten, Anzahl der simultanen Einsatzzeiten etc.), die offensichtlich bedeutsam für die Periodenbildung sind wurde an den Autoren weitergegeben.

 

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Subject: Re: Fragen zu den lokalen Kompositionen
From:
Date: Thu, 15 Jan 1998 11:01:35 +0100

Fragen an und Antworten von Guerino Mazzola bezüglich der lokalen Kompositionen

S. 78/79: Der Zusammenhang zwischen Bild 33 a) und Bild 31 ist problemlos.
Aufgrund Bild 33 b) ergibt sich das oberste Bild von Nr. 32; die Töne wurden auf die Ebene der Quint- Terzkoordinaten projiziert. Hier hat die Note b ein Verhältnis von 16/9
Betrachtet man nun den Vergleich des natürlichen c-moll mit C-dur ist hier ein b mit dem Verhältnis 9/5 verwendet worden.
Geschah dies aus Gründen der Symmetrie?
Und, geht das so einfach, ist das nicht willkürlich?
Oder wurde es genommen um ein besseres Schwingungsverhältnis bezüglich zu Es-dur zu erzielen?

1. p. 78 die chromatische C-Skala wurde von Vogel so definiert, das b stammt also von ihm. Das natürliche c-moll ist auch nicht meine Erfindung, sondern ursprünglich die von Zarlino in seinem Dualismus. Die Zarlino-Symmetrie zwischen natürlichem c–moll und C-Dur ist in 4.2.1.2.5 erklärt. Oettingen und Karg-Elert haben das ja übernommen.

 

S. 80/81 „Es gibt unendlich viele reingestimmte Akkorde, hingegen 2^w – 1 w-temperierte Akkorde und (w über n) – 1 w-temperierte n-Chorde“ In der Formel für die w-temperierten n-Chorde wurde das -1 als Fehler angesehen…
Ist dies der Fall?

2. p.80/81 Das -1 kommt daher, dass wir keine leeren Chorde betrachen.

 

S. 81f. Bezüglich der Erklärung des Rhythmus als lokales Metrum und des Bildes 34 sind Fragen nach den anderen Aspekten (Tonigkeiten, Anzahl der Tonigkeiten pro Einsatzzeit aufgetreten).
Wie entsteht ein n-periodischer Rhythmus?
Oder anders gefragt, wenn sich bei dem in Bild 34 dargestellten 3-periodischen Rhythmus irgend eine Tonhöhe ändert oder statt eines 3-Klanges ein anderer n-Klang oder nur ein Ton auftaucht, habe ich es dann immer noch mit einem n-periodischen Rhythmus zu tun?

3. p.81 (3-periodischer Rhythmus). Nein, dann ist kein solcher Rhythmus mehr vorhanden. Wenn man aber von diesen Veränderungen absehen will, und dazu die sensiblen Koordinaten weglässt, dann ist man gerettet. Man muss sich eben entscheiden, welche Merkmale man in der Wiederholung auch genau wiederholen will. Die anderen muss man a priori weglassen. Wichtig ist, dass man die Merkmale, die man wiederholt haben will, auch definitiv und verbindlich klarstellt, und nicht im nachhinein doch noch weglässt oder so.

 

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4.2 Lokale Theorie der Symmetrien

Subject: Zusammenfassung vom 21.1.98 in Osnabrück
From:
Date: Fri, 23 Jan 1998 08:19:58 +0100

Zusammenfassung der Sitzung vom 21.1.98 in Osnabrück

Rückblick: Es wurden zunächst die Antworten Mazzolas auf die Fragen der vergangenen Sitzung diskutiert. Dabei konnte eine Frage immer noch nicht geklärt werden:
Die Seminarteilnehmer blieben bei der Auffassung, daß es (w über n) und nicht (w über n) – 1 w-temperierte n-Chorde geben müsse.

S. 84-93 Symmetrien in der Musik

4.2.1.2.1.Transposition
Die Transformation bzw. Translation bei Transposition wird als
(e hoch a) (x) = a +x
bezeichnet, weil die frequenzmäßige Multiplikation in der Wahrnehmung einer Addition von Tonhöhen entspricht. Es handelt sich bei der linken Seite der Gleichung aber nicht um eine Potenz im engeren Sinn.

4.2.1.2.2. Wiederholung, da capo, Kanon, Rhythmus
Wichtg ist hierbei, daß zwei scheinbar identisch ablaufende Vorgänge nicht identisch sind, da sie niemals in derselben Zeit ablaufen.

4.2.1.2.3. Umkehr, Krebs
Bei Akkordumkehr handelt es sich, wie Mazzola schreibt, nicht um eine Akkordumkehrung im Sinne der Musiktheorie, sondern bei temperierter Stimmung um eine Spiegelung und bei reiner Stimmung um eine Drehung um 180 Grad im Eulernetz. Auf diese Art gelingt es auf eindrucksvolle Weise, Moll-Dreiklänge durch Umkehr aus Dur-Dreiklängen zu gewinnen. (4.2.1.2.5.) Interessant ist dabei, daß die Dur-Dominante bei Umkehr nach Moll die Subdominante ergibt und umgekehrt. Mazzola stellt damit die subdominantische Funktion der 4. Stufe und die dominantische Funktion der 5. Stufe in Frage.

4.2.1.2.4. Klang-Transformationen
Jedes „Sample“ kann durch Veränderung von Amplitude, Länge und Zeitpunkt verändert werden. Allerdings muß insbesondere bei Zeitumkehr („Krebs“) der stark unsymmetrische zeitliche Verlauf des Samples in Betracht gezogen werden.

 

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Subject: Re: Zusammenfassung vom 21.1.98 in Osnabrück
From:
Date: Fri, 23 Jan 1998 13:57:52 +0100

Die Seminarteilnehmer blieben bei der Auffassung, daß es (w über n) und nicht (w über n) – 1 w-temperierte n-Chorde geben müsse.

Das ist doch keine Auffassungssache. Eine w-elementige Menge hat nun mal exakt (w über n) n – elementige Teilmengen. Interessanter ist schon die von Euch nicht gestellte Frage, die Guerino Mazzola offenbar aus einem Mißverständis heraus beantwortet hat. Sollte man den leeren Akkord zulassen?
Abgesehen, von der musiktheoretischen Motivation geht es dabei um die Frage, welche Endomorphismen der leere Akkord haben soll. Wenn man sich mal die Kollektion der Unterhalbgruppen des Monoids aller affinen Endomorphismen von Z3 anschaut (das kann man noch bequem zu Fuß ausrechnen), dann suggeriert das Hassediagramm für die Inklusion dieser Halbgruppen, daß man dem leeren Chord die volle Symmetriegruppe (also die Menge der invertierbaren Endomorphismen von Z3) zuordnen sollte, d.h. der leere Chord von Z3 hat keine nicht-invertierbaren Endomorphismen. Ich gebe zu, daß die Ästhetik eines Hassediagramms noch keine zwingende Argumentation liefert, aber es ist zumindest eine Idee. Musiktheoretisch scheint mir der leere Akkord deswegen nicht gänzlich uninteressant zu sein, weil es u.a. Sinn macht, danach zu fragen, ob sich der leere Akkord in einer bestimmten gegebenen Umgebung eines anderen Akkordes befindet oder nicht. Der Umgebungsbegriff seinerseits ist ein topologischer Begriff.

Die folgende Erläuterung ist für diejenigen gedacht, die mit den Begriffen der Topologie und einer topologischen Basis etwas anfangen können:

Wir betrachten ein Tonsystem T und das Monoid seiner affinen Endomorpfismen Aff(T) und ordnen jeder Menge K von Endomorphismen aus Aff(T) die Menge
V(K) = {Chorde X | f(X) enthalten in X für alle f aus K} zu.
Diese Kollektion der V(K) für beliebige Teilmengen K von Aff(T) ist Basis einer Topologie, denn es gilt:
V(K vereinigt mit L) = V(K) geschnitten mit V(L)

Auf der Menge 2^T aller Chorde, d.h. der Potenzmenge von T hat man daher eine Topologie definiert, die ganz ähnliche Eigenschaften hat, wie die Zariski-Topologie aus der algebraischen Geometrie. Der damit formalisierte Umgebungs-Begriff deckt sich sehr gut(!) mit dem der musikalischen Akkordverwandtschaft.

In der Terminologie der formalen Begriffsanalyse sind die offenen Mengen dieser Topologie die Extensionen eines Begriffsverbandes, dessen Gegenstände die Akkorde und dessen Merkmale die affinen Endomorphismen sind.

Zurück zur Frage nach dem leeren Akkord:
Es ist zwar möglich, aber lästig, den leeren Akkord ständig als Ausnahme zu betrachten. Wenn man eine natürliche Definition angeben kann, was seine Endomorphismen sein sollen, dann sollte man ihn auch begrifflich einschließen.